上海科技大学数学科学研究所岳海天教授与合作者最近的两项研究成果分别发表于《数学年鉴》(Annals of Mathematics) 和《数学新进展》(Inventiones Mathematicae)，相继彻底解决了色散方程领域悬而未决近三十年的两个难题：二维高阶非线性薛定谔方程和三维三阶非线性波方程下的吉布斯测度不变性问题。
色散偏微分方程是偏微分方程领域中最受关注的研究方向之一。上世纪80 年代末和 90 年代初菲尔兹奖获得者J. Bourgain、美国科学院院士 J. L. Lebowitz 及其合作者们开启了用概率方法研究非线性薛定谔方程的统计力学性质的先河。由于其丰富的物理和数学内涵，非线性薛定谔和波方程下的不变吉布斯测度 (invariant Gibbs measure) 的研究成为了色散方程领域最前沿热点一个方向。继90年代J. Bourgain 解决了一维和二维的三阶非线性薛定谔方程以及二维高阶非线性波方程的吉布斯测度的不变性问题以后，二维高阶非线性薛定谔方程和三维三阶非线性波方程下的吉布斯测度的不变性问题便成为了领域最亟待解决的两大难题。
2019 年，岳海天及其合作者芝加哥大学邓煜 、马萨诸塞大学阿默斯特分校Andrea R. Nahmod开创性地提出了随机平均算子方法 （见图1)，从而彻底地解决了上述第一个难题。历经五年的审稿，该成果刊登于今年8月30日出版的《数学年鉴》。文中还开创性地提出了适定性理论的概率临界猜想，其中概率临界的概念成功地从直觉性角度引领了后续研究。这一猜想的提出是自1996 年J. Bourgain的工作以来该领域最重要的进展之一，它大力地推进了人们对随机初值在非线性色散方程下演化结构的理解。
图1
随后，上述三位作者与合作者普林斯顿大学B. Bringmann解决了前述第二个难题，即三维三阶非线性波方程的吉布斯测度的不变性问题，成果发表在今年4月29日出版的《数学新进展》上。前述概率临界猜想为解决该难题提供了深刻的洞见。在这篇长达 279 页的论文中，岳海天与合作者创造性地运用了概率论、调和分析、数论、组合数学、偏微分方程等数学分支中的随机量子化、拟控制理论、格点计数估计、随机张量理论、分子图分析等多种复杂技术工具从而证明了在吉布斯概率初值下三维三阶波方程会按照既定结构演化 （见图2 )。
图2
值得一提的是，岳海天及合作者在本次发表于《数学年鉴》上的论文基础上发展出了随机张量理论，从而完整地解决了薛定谔方程概率次临界适定性问题。该问题也是近三十年来备受关注的难题之一，相关成果已于2021年11月发表在《数学新进展》。
《数学新进展》和《数学年鉴》均位列学界公认的“四大纯数学期刊”。前者创刊于1961年，致力于发表纯数学各领域的新突破，这是岳海天第二次在该期刊上发表论文。后者创办于 1884 年，由普林斯顿大学数学系与普林斯顿高等研究院合作出版，每年仅接受约 30 篇文章，在其上发文之难不言而喻。岳海天表示：“我很幸运能和两位出色的数学家合作，发挥各自所长，我们的文章能够出现在《年鉴》上是莫大的荣幸，也是梦想成真。”
岳海天于2021年加入上海科技大学，目前是数学所助理教授。“海天如此年轻就有这样的成就，我和上科大数学所为他感到非常自豪！”创始所长陈秀雄难掩兴奋。“海天和他的合作者们在这一系列文章中创建的新理论，引进的新方法和提出的新猜想必将深刻影响色散方程和相关领域的研究。”
文章链接：https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01254-4
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